Assortatividade em redes: o algoritmo da afinidade

Entendendo a Correlação de Grau em Redes: quem se conecta com quem?

Você já parou para pensar se os “nós populares” de uma rede tendem a se conectar entre si — ou se preferem fazer amizade com nós menores, menos conectados?

Essa simples pergunta leva a um dos conceitos mais elegantes da Ciência de Redes: a correlação de grau e o coeficiente de assortatividade.

O que é o grau de um nó?

O grau de um nó é o número de conexões que ele possui.

Em redes não direcionadas, é apenas o número de vizinhos.

Já em redes direcionadas, distinguimos:

• grau de entrada (in-degree): quantas conexões chegam;
• grau de saída (out-degree): quantas conexões saem.

Esse número simples — o grau — é a base de muitas propriedades emergentes das redes complexas.

Correlação de grau: quando a afinidade cria estrutura

A correlação de grau mede o quanto o grau de um nó influencia o grau dos nós com que ele se conecta.

Em termos simples: quem se conecta com quem:

• Quando nós de alto grau se conectam a outros nós de alto grau, dizemos que a rede é assortativa.
• Quando nós de alto grau preferem se conectar a nós de baixo grau, a rede é disassortativa.
• Quando não há um padrão claro, a rede é neutra.

Essa propriedade não é apenas curiosa — ela muda completamente a dinâmica de propagação, robustez e resiliência da rede.

O coeficiente de assortatividade

Matematicamente, a correlação de grau é expressa pelo coeficiente de assortatividade ( r ), uma forma do coeficiente de correlação de Pearson aplicada aos graus dos nós nas extremidades de cada aresta:

[r = \frac{\sum_{jk} jk(e_{jk} - q_j q_k)}{\sigma_q^2}]

onde:

•  ( e_{jk} ) é a probabilidade de uma aresta conectar nós de grau ( j ) e ( k );
•  ( q_k ) é a probabilidade de que uma ponta de aresta termine em um nó de grau ( k );
•  ( \sigma_q ) é o desvio padrão de ( q_k ).

O valor de ( r ) varia entre -1 e +1:

• ( r = 1 ): máxima assortatividade — nós semelhantes se ligam entre si.
• ( r = 0 ): aleatoriedade — sem correlação.
• ( r = -1 ): disassortatividade total — opostos se atraem.

Matriz de correlação ( E_{jk} )

Outra forma de visualizar a correlação é construir a matriz ( E_{jk} ), que mostra a fração de arestas que ligam nós de grau ( j ) a nós de grau ( k ).

Se os valores altos da matriz se concentram na diagonal, os graus semelhantes se conectam — a rede é assortativa.

Se aparecem fora da diagonal, é disassortativa.

Intuição visual

Imagine uma festa:

• Se os mais populares só conversam entre si — é uma rede assortativa.
• Se os populares conversam com os tímidos e vice-versa — disassortativa.
• Se todo mundo fala com todo mundo — neutra.

Por que isso importa?

O padrão de correlação de grau afeta diretamente:

Como uma epidemia (ou informação) se propaga;

A vulnerabilidade a falhas e ataques;

A formação de comunidades e hierarquias dentro da rede.

Entender essa métrica é essencial para qualquer análise de redes sociais, biológicas, tecnológicas ou políticas.

Para pensar

As redes que nos cercam — sociais, biológicas, econômicas ou cognitivas — têm padrões que revelam como afinidade, propósito e estrutura moldam a conectividade.

E entender quem se conecta com quem é, no fundo, uma maneira de entender como o mundo se organiza.