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Nos últimos dias tenho mergulhado no Capítulo 3 do Network Science Book , e cada seção tem aberto novas formas de entender como as redes funcionam. Ontem registrei minhas descobertas sobre distribuições de grau, limiares críticos e o momento em que uma rede “ganha vida”. Hoje, avancei para três conceitos fascinantes: 1. O fenômeno do Small World A ideia central é simples: a distância média entre dois nós em uma rede aleatória cresce de forma logarítmica com o tamanho da rede. Em uma rede com grau médio ⟨k⟩, o número de vizinhos acessíveis cresce exponencialmente : Distância 1 → ⟨k⟩ vizinhos Distância 2 → ⟨k⟩² vizinhos Distância 3 → ⟨k⟩³ vizinhos Isso explica porque, mesmo em redes gigantes, conseguimos atravessar de um nó a outro em poucos passos — o famoso “seis graus de separação”. Surpresa: Nossa intuição vem de redes regulares ( lattices ), onde as distâncias crescem polinomialmente: N 1 / d N^{1/d} Em 1D, d m a x ∼ N d_{max} \sim N . Em 2D, d m a x ∼ ...

Depois de mergulhar no exemplo da festa do vinho — e na diferença entre fofoca em redes sociais reais e o modelo de Erdős–Rényi — avancei para outra parte fundamental: a matemática por trás da conectividade em redes aleatórias . Do número de links ao grau médio Em um grafo com N N nós, o número máximo de pares possíveis é: M = N ( N − 1 ) 2 M = \frac{N(N-1)}{2}. O número de links L L segue uma distribuição binomial: P ( L ) = ( M L ) p L ( 1 − p ) M − L P(L) = \binom{M}{L} p^L (1-p)^{M-L}. O valor esperado é: ⟨ L ⟩ = M p \langle L \rangle = M \cdot p. Como cada link conecta dois nós, o grau médio é: ⟨ k ⟩ = 2 ⟨ L ⟩ N = p ( N − 1 ) \langle k \rangle = \frac{2\langle L \rangle}{N} = p (N-1). Minha  intuição : cada nó tem N − 1 N-1 chances de se conectar, cada uma com probabilidade p p . O limiar crítico: ⟨ k ⟩ = 1 \langle k \rangle = 1 Esse foi o ponto mais marcante do meu aprendizado: Se ⟨ k ⟩ < 1 \langle k \rangle < 1 : a rede é formada por pequenos fragmen...

Nos últimos dias, fiquei com uma dúvida interessante ao ler um exemplo do livro de redes: a história da festa em que alguém descobre qual é o melhor vinho e essa informação acaba se espalhando entre os convidados. A minha primeira interpretação foi: “ah, claro, isso mostra como a fofoca se espalha rápido”. Mas, na aula, o professor me corrigiu — e aí começou meu aprendizado. O que eu entendi depois? O texto, na verdade, está descrevendo o modelo de redes aleatórias (Erdős–Rényi). Nesse modelo: As conexões entre as pessoas surgem ao acaso. A propagação da informação só decola quando a rede atinge um limiar crítico de conectividade . Nesse ponto, aparece a chamada componente gigante — e qualquer informação consegue se espalhar para quase todos. Esse é o momento em que a rede “ganha vida” : de repente, ela deixa de ser um conjunto de pares isolados e passa a funcionar como um todo conectado. As redes aleatórias são a base, mas na realidade não descrevem as redes sociais humanas. Isso por...